როგორ დაფუძნდა თვლის ათობითი სისტემა?

  • Эльза
  • აგვისტო 10, 2016

10 თითიდამრგვალებულ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების ჩატარება უფრო მარტივია, ვიდრე დაუმრგვალებელ რიცხვებზე. მაგალითად, არავისთვის წარმოადგენს სირთულეს 100-ს გამრავლება 500-ზე; მაგრამ თუ მოითხოვება დაუმრგვალებელი ორი სამნიშნა რიცხვის 186-ს გამრავლება 478-ზე, ამას უმეტესობა ვერ გააკეთებს კალკულატორის (ან ფანქრისა და ქაღალდის) გარეშე.

როდესაც ვსაუბრობთ დამრგვალებულ რიცხვებზე, ჩვენ ვგულისხმობთ, რომ საქმე გვაქვს თვლის ათობით სისტემასთან. ერთი და იგივე რიცხვი შეიძლება იყოს დამრგვალებული ან დაუმრგვლებელი იმის მიხედვით, თუ თვლის რომელ სისტემას ვიყენებთ.

იმისათვის რომ გავერკვეთ ამ საკითხში, ჯერ განვიხილოთ, თუ რაში მდგომარეობს ჩვეულებრივი ათობითი სისტემის არსი. ამ სისტემაში ყოველი დადებითი რიცხვი წარმოიდგინება ერთეულების, ათეულების, ასეულების და ა. შ. ჯამის სახით. მაგალითად, ჩანაწერი 3657 ნიშნავს, რომ განსახილველი რიცხვი შედგება 7 ერთეულის, 5 ათეულის, 6 ასეულისა და 3 ათასეულისგან, ე. ი. 3657 არის შემდეგი გამოსახულების შემოკლებული აღნიშვნა:

 103 + 6 . 102 + 5  . 101 + 7 . 100

ასევე შეგვიძლია ნებისმიერი რიცხვი წარმოვადგინოთ არა 10-ს, არამედ რომელიმე სხვა რიცხვის (1-ს გარდა), მაგალითად, რიცხვი 7-ს ხარისხების ჯამის სახით. ამ შემთხვევაში, შვიდობით თვლის სისტემაში ათვლას ვაკეთებთ 0-დან 6-მდე, ხოლო რიცხვი 7 ახალ შვიდობით სისტემაში იქნება მეორე განრიგის ერთეული (10-ს ნაცვლად) და იგი პირობითად შეგვიძლია აღვნიშნოთ (10)7 სიმბოლოთი. შემდეგი განრიგების ერთეულები იქნება რიცხვები: 72, 73 და ა. შ. ამ რიცხვებს აღვნიშნავთ (100)7, (1000)7 სიმბოლოებით და ა. შ. ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოვადგინოთ 7-ს ხარისხების კომბინაციის სახით:

Ak   7k  + Ak-7k-1 + … + A.  7 + A0

სადაც A0 , A1 , … , Ak-1 , Ak კოეფიციენტებიდან ყოველ მათგანს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მთელი მნიშვნელობა 0 – დან 6 – მდე.

ეს რიცხვი შვიდობით სისტემაში შეიძლება ჩავწეროთ შემდეგი სახით:

(A0 , A1 , … , Ak-1 , Ak )7 .

ამ ჩანაწერში ნიშანი 7 მიუთითებს იმაზე, რომ თვლის სისტემა, რომელსაც ვიყენებთ, არის შვიდობითი. განვიხილოთ მაგალითი. ათობითი რიცხვი 3657 შეიძლება წარმოვადგინოთ შემდეგი სახით:

1   74 + 3   73 + 4   72 + 4   71 + 3  . 70

ეს გამოსახულება, (1) აღნიშვნის თანახმად, ჩაიწერება ასეთი სახით:

(13443)7

ამრიგად,

(3657)7 = (13443)7.

შევნიშნოთ, რომ ახალი შვიდობითი სისტემის გამოყენებისას დამრგვალებული აღარ არის ის რიცხვები, რომლებიც ათობით სისტემაში იყო მრგვალი. მაგალითად:.

(147)10 = 3 . 72  + 0 . 71 + 0 70  = (300)7 ,

(343)10 =1 . 73 + 0 . 72 + 0 71 + 0 . 70 = (1000)7 ;

(100)10 = 2 . 72 + 0 . 71 + 2 . 70 = (202)7 ,

(300)10 = 6 . 72 + 0 . 71 + 6 . 70 = (606)7 ,

(1000)10 = 2 73 + 6 . 72 + 2 .  71 + 6 . 70  = (2626)7

და  ა. შ.  ამიტომ  შვიდობით  სისტემაში  (147)10 – ს გამრავლება (343)10 – ზე ბევრად უფრო  ადვილია, ვიდრე (100)10 – ს  (300)10 -ზე.

თუმცა შვიდობითი სისტემა არ არის ფართოდ გამოყენებადი და ვერ უწევს კონკურენციას ყოველმხრივ აღიარებულ ათობით სისტემას. ისმის კითხვა: რატომ მიენიჭა რიცხვს 10 ასეთი პრივილეგია. რიცხვი 10 მხოლოდ იმიტომ არის მრგვალი, რომ იგი წარმოადგენს ათობითი თვლის სისტემის საფუძველს; ნებისმიერ სხვა სისტემაზე გადასვლის შემთხვევაში 10 აღარ არის მრგვალი რიცხვი. მაგალითად, შვიდობით სისტემაში 10 ჩაიწერება (13)7 სახით. ათობითი სისტემის საყოველთაო აღიარების მიზეზები არამათემატიკურია. ამის მთავარი მიზეზი მდგომარეობს იმაში, რომ უძველესი პერიოდიდან მოყოლებული პირველყოფოლ აპარატს დათვლისთვის წარმოადგენდა ხელების თითები. ამ სისტემაში რიცხვი 10 ითვლება მეორე განრიგის ერთეულად, 10 ათეული – მესამე განრიგის ერთეულად და ა. შ. ამრიგად, სწორედ თითებზე გადათვლამ ჩაუყარა საფუძველი ათობით სისტემას.

მიუხედავად ამისა, ათობითი სისტემა ყოველთვის არ სარგებლობდა პოპულარობით. სხვადასხვა ისტორიულ პერიოდში ათობითი სისტემისგან განსხვავებული თვლის სისტემები იყო შემოღებული. მაგალითად, საკმაოდ ფართოდ იყო გავრცელებული ათვლის თორმეტობითი სისტემა. მისი წარმოშობა ასევე დაკავშირებულია თითებზე დათვლასთან. ხელის ოთხ თითს (ცერის გარდა) ერთობლიობაში აქვს 12 ფალანგი. ისინი ცერის გამოყენებით გადაითვლიდნენ ფალანგებს 1 -დან 12 -მდე, ხოლო რიცხვი 12 მიღებული იყო მეორე განრიგის ერთეულად და ა. შ. მათემატიკური თვალსაზრისით თორმეტობით სისტემას ჰქონდა ის უპირატესობა, რომ 12 იყოფა 2, 3, 4 და 6 -ზე, ხოლო 10 -მხოლოდ 2- ზე და 5- ზე . თორმეტობითი სისტემის გადმონაშთი დაფიქსირდებულია ინგლისური ზომის სისტემაში (მაგლითად, 1 ფუტი = 12 დიუიმს) და ფულობრივ სისტემაში: (შილინგი – ინგლისური ფულადი ერთეული) 1 შილინგი უდრიდა 12 პენსს 1971 წლამდე, სანამ მოხდებოდა ათობით სისტემაზე გადასვლა.

ხელი

აცტეკების და მაიას ხალხები, რომელთაც მიაღწიეს მაღალი კულტურული განვითარების დონეს და განსაკუთრებით გამოირჩეოდნენ მათემატიკის ცოდნით, იყენებდნენ თვლის ოცობით სისტემას. ასევე, ოცობითი სისტემა მიღებული ჰქონდათ კელტებს, რომლებიც დასახლებული იყვნენ დასავლეთ ევროპაში. კელტების ოცობითი სისტემის გარკვეული ნაკვალევი შემორჩენილია თანამედროვე ფრანგულ ენაში; მაგალითად, ფრანგულ ენაში სიტყვა ” ოთხმოცი ” ფრანგულად არის ” quatre-vingts ” , რაც ითარმნება, როგორც ოთხჯერ ოცი. ასევე რიცხვი 20 აღნიშნავს ფრანგული ფულის ერთეულს – ფრანკს, რომელიც იყოფა 20 სუ-ზე. ქართულ ენაში კი სიტყვა ოთხმოცი პირდაპირ იკითხება, როგორც ოთხჯერ ოცი.

ძველ ბაბილონში, სადაც კულტურა და მათემატიკა იმ დროისთვის მაღალ დონეზე იყო განვითარებული, არსებობდა საკმაოდ რთული სამოცობითი სისტემა. ისტორიკოსების შეხედულებები იმის შესახებ, თუ როგორ წარმოიშვა ეს სისტემა, ერთმანეთისგან მკვეთრად განსხვავებულია. ერთი ნაკლებად სარწმუნო ჰიპოტეზის თანახმად, სამოცობოთი სისტემა წარმოიშვა ორი ტომის გაერთიანების შედეგად, რომელთაგან ერთი სარგებლობდა ექვსობითი სისტემით, ხოლო მეორე – ათობითი სისტემით. სამოცობითი სისტემა კი წარმოიშვა, როგორც ამ ორ სისტემას შორის კომპრომისული ვარიანტი. მეორე ჰიპოტეზის თანახმად, ბაბილონელები წელიწადის ხანგრძლივობად მიიჩნევდნენ 360 დღეს, რაც ბუნებრივად უკავშირდება რიცხვს 60. თუმცა ეს ვერსიაც ვერ ჩაითვლება საკმარისად საფუძვლიანად: ძველი ბაბილონელები მაღალ დონეზე ფლობდნენ ასტრონომიას, ამიტომ უნდა ვიფიქროთ, რომ ცდომილება იქნებოდა 5 დღეზე ბევრად ნაკლები. მიუხედავად იმისა, რომ სამოცობითი სისტემის წარმოშობის საკითხი გაურკვეველია, თავად ის ფაქტი, რომ ბაბილონის სახელმწიფოში არსებობდა და ფართოდ გამოიყენებოდა სამოცობითი სისტემა, დადგენილია. ამ სისტემამ დღემდე მოაღწია; მაგალითად, მისი კვალი ასახულია 1 საათის 60 წუთად დაყოფაში, 1 წუთის 60 წამად დაყოფაში და ანალოგიურად, კუთხეების გაზომვაში: გრადუსი = 60 მინუტს, 1 მინუტი = 60 სეკუნდს.

როგორც გვიჩვენებს ზემოთ მოყვანილი მაგალითები, სამოცობითი, ოცობითი და თორმეტობითი თვლის სისტემების ნაკვალევი დღემდე არის შემორჩენილი ენებში, ფულობრივ და გაზომვის სისტემებში. მაგრამ რიცხვების ჩასაწერად და სხვადასხვა სახის გამოთვლების ჩასატარებლად ჩვენ ყოველთვის ვსარგებლობთ თვლის ათობითი სისტემით.

წინა «
შემდეგი »

ვარ მათემატიკოსი.